Da Alessandro Weis E Gerd Kommer
Questo post è stato aggiornato nell'aprile 2025.
Chiunque pensi di andare in pensione oggi, tra dieci o addirittura tra 20 anni, ma il cui nome non è Bill Gates, Jeff Bezos o Elon Musk, si chiederà se il suo patrimonio sarà sufficiente a mantenere il tenore di vita desiderato fino alla fine della sua vita.
Il modo usuale per rispondere a questa domanda è assumere un rendimento di portafoglio e un “tasso di ritiro del portafoglio” per un dato asset, presupponendo che entrambe le variabili rimarranno invariate ogni anno fino alla fine del periodo di osservazione (che in genere coincide con l’aspettativa di vita rimanente stimata).
A proposito di aspettativa di vita rimanente: in Internet sono disponibili numerosi calcolatori per calcolare l’aspettativa di vita rimanente, ad es. B. Questo. Forniscono l’aspettativa di vita rimanente “media”, nota anche come aspettativa di vita rimanente mediana. Secondo lei c'è il 50% di probabilità che la persona in questione vivrà più a lungo rispetto a casi statisticamente comparabili e il 50% di probabilità che vivrà meno a lungo. Tuttavia, per essere sicuri ai fini di una simulazione Monte Carlo, ci si dovrebbe aspettare un'aspettativa di vita residua che la persona in questione supera statisticamente solo con una probabilità del 10% o 20%. Puoi calcolarlo, ad esempio Questo computer basato su Internet.
Torniamo al calcolo del tasso di prelievo del portafoglio: i calcoli abituali possono essere effettuati abbastanza facilmente su diversi portali finanziari o con un programma di fogli di calcolo. Si tratta solitamente di calcoli lineari, “deterministici”; le cosiddette “stime puntuali”. Sebbene tali stime siano migliori di nessun calcolo, hanno comunque un valore cognitivo limitato. Limitati perché ignorano l'aspetto fondamentale dell'incertezza dei rendimenti futuri: l'incertezza dei rendimenti futuri del portafoglio, cioè le loro fluttuazioni e soprattutto la sequenza specifica di queste fluttuazioni. Tali stime puntuali presuppongono irrealisticamente che il percorso verso il futuro sia un percorso semplice, lineare e privo di fluttuazioni.
I metodi di calcolo lineare ignorano il fatto che i rendimenti del portafoglio fluttuano attorno a una media in futuro e la fluttuazione specifica al rialzo o al ribasso non può essere prevista per un anno specifico. Questo difetto congenito del consueto metodo lineare può essere risolto in piccola misura - ma non del tutto - effettuando, ad esempio, stime puntuali diversamente ottimistiche e pessimistiche ("caso peggiore", "caso migliore", "caso medio" o "caso base").
Vuoi porre domande del tipo “ho abbastanza risorse?” o “Quanto prelievo al mese posso permettermi?” o "Quando posso smettere di lavorare al più presto?" Per rispondere alla domanda in modo più significativo su un lungo periodo di tempo rispetto alle stime puntuali, è necessario passare a una tecnica di previsione più sofisticata Simulazione Montecarlo.
In una simulazione Monte Carlo (“MCS”), un semplice algoritmo matematico viene utilizzato per trovare una soluzione a un problema stocastico (matematico delle probabilità).
La MCS come tecnica di simulazione e previsione è stata sviluppata durante la Seconda Guerra Mondiale dai famosi matematici Stanislaw Ulam e John von Neumann come parte di un progetto sulle armi nucleari presso il Laboratorio Scientifico di Los Alamos negli Stati Uniti. A causa della riservatezza del progetto, per la nuova procedura era necessario un nome in codice. I due scelsero “Monte Carlo Simulation” perché il ricco zio di Ulam occasionalmente si dedicava al gioco d'azzardo al Casinò di Monte Carlo a Monaco.
La MCS è ormai utilizzata praticamente in tutte le discipline scientifiche come biologia, chimica, matematica e fisica; Non si tratta quindi di un metodo nuovo e non viene utilizzato in economia finanziaria solo per fare previsioni (anzi simulazioni).
Nel contesto di investimento rilevante per i nostri scopi, un MCS prevede che un computer generi alcune centinaia o migliaia di possibili casi diversi, le cosiddette "iterazioni", sulla base di ipotesi sul rendimento atteso e sulla volatilità (incertezza del rendimento) di un portafoglio, sull'aspettativa di vita rimanente dell'investitore e sulle sue aggiunte e prelievi periodici dal portafoglio (un'iterazione o "caso" è una singola previsione individuale). Il computer quindi ordina i casi risultanti dal migliore al peggiore e prepara questo “bouquet” di iterazioni con semplici cifre chiave statistiche in forma tabellare e grafica per l'utente. L'utente può quindi prendere decisioni importanti sulla base di questi risultati.
Il numero minimo di iterazioni necessarie per raggiungere un risultato affidabile dipende da cosa si desidera simulare. Per simulare un portafoglio di investimenti, che sono semplici rispetto alla risoluzione di problemi specifici in biologia o fisica, sono generalmente considerate sufficienti da 1.000 a 10.000 iterazioni per simulazione.
In termini tecnici, MCS aiuta a comprendere e gestire meglio il cosiddetto rischio sequenza di rendimenti. Il rischio della sequenza dei rendimenti significa che l’ordine specifico di fluttuazione dei rendimenti mensili o annuali durante il periodo di osservazione ha quindi un impatto elevato sul rendimento complessivo e quindi anche sul valore finale del portafoglio, a condizione che i fondi vengano aggiunti o ritirati dal portafoglio nel corso del tempo. Solo in un portafoglio che non presenta aggiunte o prelievi durante il periodo in esame, la successione dei rischi di rendimento non ha alcun ruolo per i rendimenti e il patrimonio finale, ma la completa assenza di aggiunte o prelievi non si verifica comunque mai nel contesto tipico di MCS, perché si tratta proprio di determinare un tasso di prelievo sostenibile.
La MCS può essere effettuata metodologicamente in diversi modi. Il metodo più comune presuppone un rendimento medio (rendimento annuale o mensile) e la volatilità di tali rendimenti. [1] Con questi due valori di input, il computer calcola quindi migliaia di iterazioni (previsioni individuali) sulla base di una presunta distribuzione statistica normale dei rendimenti futuri. Questa procedura standard è denominata “MCS classica”.
Un altro metodo consiste nell'utilizzare i rendimenti storici del portafoglio (ad esempio rendimenti mensili degli ultimi 50 anni) per estrarre casualmente rendimenti di periodi individuali come da un'urna e metterli insieme (dopo l'estrazione, il rendimento viene restituito all'urna). Questo viene poi ripetuto migliaia di volte dal computer. Questo processo è chiamato “bootstrap con sostituzione”. È meno comune, ma altrettanto rilevante e significativo quanto la classica MCS.
Nei due metodi precedenti, nella simulazione si presuppone una sequenza casuale di rendimenti periodici del portafoglio.
Un terzo metodo, tuttavia, utilizza sequenze di rendimenti storici completi (ad esempio i rendimenti mensili dal 1970 ad oggi nello stesso ordine in cui si sono verificati storicamente). L'elemento di simulazione in questo metodo consiste nel selezionare casualmente il punto di partenza all'interno della serie di dati storici, che viene poi ripetuto dal computer diverse migliaia di volte. Per le iterazioni il cui punto di partenza è così tardivo all'interno della serie di dati storici che il punto finale sarebbe dietro l'ultimo rendimento mensile storico nella serie di dati, il simulatore ricomincia "dall'inizio" dal primo punto di dati per poter generare una previsione sufficientemente lunga - paragonabile ad un ascensore Pater Noster che "passa sempre". Questo metodo è chiamato in gergo tecnico “Metodo delle sequenze storiche”. In particolare, non elimina la debole “regressione alla media” presente nei dati storici di borsa (voce di Wikipedia sulla regressione alla media Qui). Lo stesso vale per i dati obbligazionari, dove i dati storici contengono una leggera “anti-regressione alla media”.
Se in un dato caso vengono utilizzati tutti e tre i metodi, i risultati differiscono nel senso che: B. il “tasso di fallimento”/“tasso di fallimento” (la percentuale di tutte le previsioni individuali per le quali il portafoglio non è sufficiente fino alla fine del periodo di osservazione) è qualcosa del genere:
- MCS classica: in genere produce il tasso di fallimento più elevato tra i tre metodi, ovvero i risultati relativamente meno piacevoli
- Bootstrap con MCS sostitutivo: in genere produce il tasso di fallimento medio tra i tre metodi
- MCS con sequenze storiche: solitamente fornisce il tasso di fallimento più basso tra i tre metodi, ovvero i risultati relativamente più ottimistici
Nei libri di consulenza e sui portali finanziari si legge spesso che un “tasso di prelievo del 4%” è “fattibile”, “sostenibile” o “una buona regola pratica”. [2] Il dato del 4% deriva da un’interpretazione del primo studio accademico storicamente sul tema del “tasso di ritiro sostenibile”, ormai superato dal progresso scientifico. Nel 1994, ben 30 anni fa, l’economista statunitense William Bengen pubblicò il primo studio sistematico sull’argomento (Bengen, 1994). Negli anni successivi si diffuse nel settore finanziario e nella letteratura di consulenza la cosiddetta “regola del 4%”. Secondo questa regola, è possibile prelevare ogni anno il 4% del valore iniziale in unità monetarie più l’inflazione da un portafoglio azionario-obbligazionario 50/50 senza correre il rischio di esaurire completamente il portafoglio. Ciò corrisponde a una probabilità di sopravvivenza del portafoglio del 100% e a un tasso di fallimento dello 0%. Dal punto di vista odierno, tuttavia, la regola del 4% è chiaramente eccessivamente ottimistica (McQuarrie 2025). Si può solo mettere in guardia contro il loro trasferimento acritico alle proprie circostanze. Tuttavia, per mancanza di spazio, non possiamo qui approfondire le varie ragioni della mancanza di realismo della cifra del 4%.
Talvolta si sente dire che l'ipotesi di una normale distribuzione dei rendimenti dei titoli nell'ambito del MCS classico è una rappresentazione eccessivamente ottimistica della realtà sui mercati dei capitali, poiché in realtà ci sono "fat tail", ovvero valori estremi di rendimento al rialzo e al ribasso che si trovano al di fuori di una distribuzione normale. Tuttavia, allontanarsi dall’ipotesi di distribuzione normale nella MCS, come qui descritto, tende a portare a risultati migliori rispetto al metodo classico. Di conseguenza, la “critica sulla distribuzione normale” probabilmente non coglie il punto (Tharp, 2017).
Non esiste una risposta generale su quale dei tre metodi sia “il giusto” o “il migliore”. Un chiarimento finale su questa questione richiederebbe serie di dati storici molto più lunghe di quelle disponibili; probabilmente più di 1.000 anni di rendimenti sul mercato dei capitali invece di soli 30-120 anni (a seconda del paese), come avviene effettivamente.
Indipendentemente dal metodo scelto vale quanto segue: guardando al futuro, l'andamento degli investimenti è incerto e quanto più lungo è il periodo di previsione, tanto maggiore è la forbice dei possibili attivi finali. Questa incertezza ha un impatto particolarmente forte sul rendimento e quindi sul valore patrimoniale finale per i portafogli che subiscono aggiunte o prelievi nel tempo (che è la regola). Un MCS tenta di modellare matematicamente questa incertezza per gli scopi di insight dell'investitore. La considerazione dell'incertezza dei rendimenti futuri, in particolare della loro tempistica, distingue fondamentalmente MCS dai calcoli di sviluppo lineare del portafoglio o di prelievo menzionati all'inizio, che non tengono conto dell'incertezza e sono quindi adatti solo in misura molto limitata per rispondere alle domande degli investitori qui rilevanti.
Questo per quanto riguarda la teoria. Ma ora passiamo alla pratica, cioè alle costellazioni concrete in cui la MCS può essere utilizzata in modo sensato.
Il MCS può essere utilizzato per valutare la probabilità che il patrimonio di una famiglia sia sufficiente per un dato tenore di vita per un dato periodo di tempo. Tuttavia, l’MCS può essere utilizzato anche molto prima, ovvero per scoprire quanto tempo e quanto una famiglia deve ancora risparmiare prima di poter andare in pensione. A tale scopo nella simulazione vengono rappresentate sostanzialmente due fasi del portafoglio sottostante: una fase di risparmio (accumulo di asset) e una fase di prelievo (utilizzo di asset). Nella fase di risparmio la famiglia investitrice accumula patrimonio, ossia le aggiunte al portafoglio superano i prelievi; Nella fase di prelievo la famiglia consuma tutto o parte del patrimonio risparmiato, ovvero i prelievi dal portafoglio superano le aggiunte.
Se effettuate un MCS molto prima di andare in pensione, potrete trarre spunti e conclusioni particolarmente utili per il presente. Particolarmente utile perché c'è ancora tempo per prendere decisioni fondamentali sulla base dei risultati MCS nel presente, ad es. B. risparmiare di più, spendere meno o lavorare più a lungo. Dieci o venti anni dopo, tali aggiustamenti sarebbero probabilmente arrivati troppo tardi.
In termini generali, MCS offre un ulteriore controllo di plausibilità per la domanda economica fondamentale che ogni famiglia dovrebbe porsi: “Il mio piano finanziario a lungo termine è ragionevolmente realistico e fattibile?” Se una MCS mostra che la risposta a questa domanda non è un "sì" combinato con una sensazione ragionevolmente buona, puoi sederti di nuovo e modificare il tuo piano - molti anni prima che le cose effettivamente si brucino e non possano essere riparate.
Come si procede con la realizzazione di una MCS? Innanzitutto, si determinano le variabili di input: (a) l’importo delle attività esistenti, (b) il tasso di risparmio o di prelievo mensile, (c) l’orizzonte di osservazione (di solito si tratta dell’aspettativa di vita rimanente stimata) e (d) il rendimento e la volatilità attesi del portafoglio. Il programma per computer MCS calcola quindi ad es. B. 1.000 o diverse migliaia di casi possibili.
Nella tabella seguente abbiamo presentato a scopo illustrativo i risultati di una simulazione di test esemplificativa per la casa Meierhofer. Utilizziamo il metodo MCS classico. I coniugi Paul e Anna Meierhofer hanno entrambi 50 anni e tra dieci anni, quando compiranno 60 anni, intendono andare in pensione relativamente presto; La fase di risparmio durerà quindi un altro decennio. Successivamente il patrimonio risparmiato dovrebbe durare 30 anni. È un portafoglio 60/40 (rischioso/basso rischio). La descrizione dettagliata delle variabili di ingresso si trova sotto la tabella.
Tabella: I risultati di una simulazione Monte Carlo basata su una distribuzione normale (“MCS classica”) per il caso esemplificativo della famiglia Meierhofer
► Fonte: calcoli propri con lo strumento MCS di Gerd Kommer Invest GmbH. ► Tutti i dati sono reali (aggiustati per l'inflazione) e in EUR; Poiché sono stati calcolati i rendimenti reali, non sono necessari né una stima dell’inflazione né un adeguamento dei tassi di risparmio e di prelievo all’inflazione. ► Ipotesi di base: la famiglia investe 50.000 euro all'anno nel proprio portafoglio per i prossimi dieci anni e poi ritira 50.000 euro all'anno per 30 anni; il patrimonio iniziale del nucleo familiare è pari a 1.000.000 di euro; il rendimento aritmetico del portafoglio (reale/aggiustato per l'inflazione) è del 2,9% annuo. (al netto di costi e tasse) e la deviazione standard dei rendimenti annuali è del 12,2%. ► Colonna 1: Età del nucleo familiare; ► Colonna 2: depositi cumulativi delle famiglie nel portafoglio; ► Colonna 3/4/6: Il 10°/50°/90° “percentile” della ricchezza familiare; ► Colonna 5: Media aritmetica della ricchezza delle famiglie (ricchezza finale); ► Colonna 7: Deviazione standard della ricchezza finale; ► Colonna 8: “Tasso di successo” del portafoglio = percentuale di casi in cui il patrimonio familiare dura fino alla fine del periodo di osservazione specificato (“probabilità di sopravvivenza del portafoglio”).
Per interpretare la tabella: nel nostro esempio della famiglia Meierhofer sono stati versati in portafoglio complessivamente 1.500.000 euro (colonna 2). Nel peggiore 10% dei casi, il portafoglio non sarebbe durato fino all’età di 85 anni (colonna 3). Nel 50% dei casi, il portafoglio della famiglia alla fine del periodo valeva ancora più di 1.240.000 euro (colonna 4). Nel migliore 10% dei casi, il portafoglio sarebbe cresciuto fino a superare i 5.260.000 euro alla fine del periodo (colonna 6). Nel 18% (100% - 82%) dei casi il patrimonio non era sufficiente fino al compimento dei 90 anni (colonna 8).
Nel complesso il risultato di questo esempio può essere definito insoddisfacente perché nel 18% dei casi il portafoglio non dura fino ai 90 anni. Per alcune famiglie questa percentuale di fallimento potrebbe essere intollerabilmente elevata. Con un risultato del genere, la famiglia deve considerare come vuole cambiare il suo piano. Sarebbe concepibile aumentare il tasso di risparmio (cioè abbassare il tenore di vita attuale), posticipare la data di pensionamento a una data successiva, abbassare l’importo del prelievo in pensione, una combinazione di queste misure o l’approccio “stringere la cinghia”, di cui parleremo di seguito.
Un aumento della quota azionaria nel portafoglio (ovvero un aumento del rendimento atteso) sarebbe una soluzione per i Meierhofer? Non necessariamente. Un fenomeno frequentemente osservato in MCS in relazione alla variazione dell’asset allocation è il seguente: quanto più “aggressiva”, cioè più ricca di azioni/rischiosa, l’asset allocation scelta, migliori diventano i casi medi e buoni e peggiori diventano circa il 10%-30% dei casi peggiori. In altre parole: i casi buoni diventano ancora migliori e i casi cattivi diventano ancora peggiori nella misura in cui la quota azionaria va a scapito della quota obbligazionaria. Al contrario, si sta verificando un movimento verso un’allocazione degli asset più conservativa, ovvero più incentrata sui titoli obbligazionari. Un aumento della quota azionaria nel portafoglio oltre un certo valore non porterà ad un miglioramento, ma piuttosto ad un peggioramento del tasso di fallimento. Qui viene espressa ancora una volta la famosa legge fondamentale dell’economia: “Non c’è pranzo gratis”.
Tuttavia, un miglioramento (= riduzione) del tasso di fallimento può essere ottenuto introducendo una “dinamizzazione” del tasso di ritiro. Ciò significa che il prelievo annuale (o mensile) viene temporaneamente ridotto in base ad una regola dopo un anno di scarso sviluppo del mercato dei capitali. Si potrebbe vagamente descrivere questo come “adottare temporaneamente l’approccio di stringere la cinghia in tempi difficili”. Tuttavia, la maggior parte dei sistemi MCS non sono in grado di visualizzare tali dinamizzazioni. Lo strumento MCS di Gerd Kommer Invest GmbH può farlo.
Veniamo ad una valutazione sintetica del processo MCS e cosa può fare e cosa non può fare:
- MCS esercita una pressione positiva sull'investitore affinché affronti l'incertezza che nella realtà esiste sempre riguardo al futuro sviluppo del valore di un portafoglio, soprattutto se si effettuano prelievi da questo portafoglio a lungo termine. Ciò dà all’investitore una migliore percezione delle probabilità di risultati diversi rispetto a quanto avviene con i semplici calcoli deterministici del rendimento e del patrimonio netto finale.
- Variando gli input e le ipotesi su cui si basa un MCS, l’investitore può vedere – meglio che con il metodo deterministico – quali sono le leve più importanti per la creazione di ricchezza a lungo termine e come “non lineari” queste leve spesso funzionano. Ciò significa che MCS può aiutarti a prendere decisioni (ad esempio riducendo i prelievi mensili dal portafoglio) quando non è troppo tardi.
- Le richieste MCS del mercato standard non possono riflettere i prelievi annuali temporaneamente ridotti per ragioni precauzionali in risposta al ribasso del mercato azionario. Nella misura in cui gli investitori sono disposti a ridurre temporaneamente i ritiri negli anni di mercato sfavorevoli (un’ipotesi realistica a nostro avviso), i risultati di un MCS senza dinamizzare il tasso di ritiro sono troppo pessimistici. Gerd Kommer Invest utilizza un MCS con funzione di dinamizzazione.
- Il confronto con un livello di incertezza spesso sorprendentemente elevato (ad esempio la diffusione degli attivi finali) su periodi compresi tra 20 e 50 anni mette a disagio alcuni investitori privati perché non sono abituati a probabilistico per fare considerazioni, ad es. B. per interpretare gli spread delle attività finali o la probabilità di sopravvivenza del portafoglio.
In sintesi, possiamo dire che la simulazione Monte Carlo è uno strumento molto utile quando si tratta di domande legate alla pensione come “quanto devo risparmiare?”, “ho abbastanza patrimonio?”, “quanto presto posso smettere di lavorare?” o “Quanto prelievo al mese posso permettermi?” per rispondere. Sotto questo aspetto, MCS è superiore a molti altri metodi di previsione, in particolare al metodo standard della semplice stima puntuale, comune nel settore finanziario.
Note finali
[1] L’MCS deve essere alimentato con la media aritmetica dei rendimenti, non con la media geometrica tipicamente riportata nei manuali e su Internet.
[2] Il tasso di prelievo in percentuale è definito come l'importo assoluto di prelievo nel primo anno rispetto al valore del portafoglio iniziale. Questa quantità di denaro viene poi aumentata annualmente del tasso di inflazione, in modo che la quantità di denaro, adeguata all’inflazione, rimanga la stessa nel tempo. Il “4%” è numericamente corretto solo nel primo anno.
letteratura
Bengen, William (1994). "Determinazione dei tassi di prelievo utilizzando dati storici"; Giornale di pianificazione finanziaria: ottobre 1994; Riferimento Internet: Qui
Schreiber, Schreiber/Weber, Martin (2023): “Risparmio in età avanzata – Strategie di prelievo per la fase pensionistica”; Università di Mannheim; Riferimento Internet: Qui
Tharp, Derek (2017): “L’analisi Monte Carlo sovrastima effettivamente il rischio di coda nelle proiezioni pensionistiche?”; www.kitces.com; 5 luglio 2017; Riferimento Internet: Qui
McQuarrie, Edward (2025): “Come la regola del 4% avrebbe fallito negli anni ’60: riflessioni sulla follia dei prelievi a tasso fisso”; Rete di ricerca sulle scienze sociali; 06 febbraio 2025; Riferimento Internet: Qui