{"id":1614,"date":"2018-11-02T00:00:18","date_gmt":"2018-11-01T23:00:18","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gerd-kommer-invest.de\/?p=1614"},"modified":"2025-04-24T11:01:25","modified_gmt":"2025-04-24T09:01:25","slug":"monte-carlo-simulation-als-prognoseverfahren","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gerd-kommer.de\/blog\/monte-carlo-simulation-als-prognoseverfahren\/","title":{"rendered":"Monte-Carlo-Simulation als Prognose­verfahren"},"content":{"rendered":"

Von Alexander Weis<\/a>\u00a0und\u00a0Gerd Kommer<\/a>\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

Dieser Beitrag wurde im April 2025 aktualisiert.<\/em><\/p>\n

Wer sich \u00fcberlegt, heute, in zehn oder auch erst in 20 Jahren seinen Ruhestand anzutreten, aber nicht Bill Gates, Jeff Bezos oder Elon Musk hei\u00dft, der wird sich die Frage stellen, ob sein Verm\u00f6gen ausreichend sein wird, um den gew\u00fcnschten Lebensstandard bis zum Lebensende aufrechtzuerhalten. <\/p>\n

Das \u00fcbliche Verfahren, um diese Frage zu beantworten, besteht darin, bei gegebenem Verm\u00f6gen eine Portfoliorendite und „Portfolioentnahmerate“ zu unterstellen und dabei anzunehmen, dass beide Variablen jedes Jahr unver\u00e4ndert bis zum Ende des Betrachtungszeitraums (der typischerweise mit der gesch\u00e4tzten Restlebenserwartung zusammenf\u00e4llt) eintreten werden. <\/p>\n

\u00c0 propos Restlebenserwartung: Im Internet sind zahlreiche Rechner zur Kalkulation der Restlebenserwartung verf\u00fcgbar, z. B. dieser<\/u><\/a>. Sie liefern die „mittlere“ Restlebenserwartung, auch Median-Restlebenserwartung genannt. Nach ihr wird die betreffende Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% l\u00e4nger leben als die statistisch vergleichbaren F\u00e4lle und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% weniger lang. Um jedoch f\u00fcr die Zwecke einer Monte-Carlo-Simulation kalkulatorisch auf der sicheren Seite zu sein, sollte man mit einer Restlebenserwartung rechnen, die die betreffende Person statistisch nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% oder 20% \u00fcberschreitet. Das auszurechnen geht beispielsweise mit diesem<\/u><\/a> internet-basierten Rechner. <\/p>\n

Zur\u00fcck zur Berechnung der Portfolioentnahmerate: Die hierzu \u00fcblichen Kalkulationen kann man recht einfach auf verschiedenen Finanzportalen oder mit einem Tabellenkalkulationsprogramm anstellen. Es handelt sich dabei in der Regel um lineare, „deterministische“ Berechnungen; so genannte „Punktsch\u00e4tzungen“. Solche Sch\u00e4tzungen sind zwar besser als gar keine Berechnung, besitzen dennoch nur begrenzten Erkenntniswert. Begrenzt deswegen, weil sie den ganz fundamentalen Aspekt der Unsicherheit zuk\u00fcnftiger Renditen au\u00dfer Acht lassen: Die Unsicherheit der Renditen des Portfolios in der Zukunft also ihre Schwankungen und speziell die spezifische Abfolge dieser Schwankungen. Solche Punktsch\u00e4tzungen unterstellen realit\u00e4tsfremd, dass der Weg in die Zukunft ein einfacher, linearer, schwankungsfreier Pfad ist.<\/p>\n

Bei linearen Kalkulationsverfahren wird also ausgeblendet, dass Portfolio-Renditen in die Zukunft gerichtet um einen Mittelwert herum schwanken und die spezifische Schwankung nach oben oder unten f\u00fcr ein bestimmtes Jahr nicht prognostiziert werden kann. Dieser Geburtsfehler der \u00fcblichen linearen Methode l\u00e4sst sich in geringem Umfang \u2013 aber eben nicht wirklich \u2013 heilen, indem man beispielsweise unterschiedlich optimistische und pessimistische Punktsch\u00e4tzungen anstellt („Worst Case“, „Best Case“, „mittler Case“ oder „Base Case“).<\/p>\n

Will man Fragen wie „reicht mein Verm\u00f6gen?“ oder „wieviel Entnahme pro Monat kann ich mir leisten?“ oder „wann fr\u00fchestens kann ich aufh\u00f6ren zu arbeiten?“ f\u00fcr einen langen Zeitraum aussagekr\u00e4ftiger als mit Punktsch\u00e4tzungen beantworten, muss man zu einer anspruchsvolleren Prognosetechnik \u00fcbergehen, zur Monte-Carlo-Simulation<\/em>. <\/p>\n

Bei einer Monte-Carlo-Simulation („MCS“) wird ein simpler mathematischer Algorithmus zur L\u00f6sungsfindung einer stochastischen (wahrscheinlichkeitsmathematischen) Problemstellung eingesetzt. <\/p>\n

MCS als Simulations- und Vorhersage-Technik wurde w\u00e4hrend des Zweiten Weltkriegs von den ber\u00fchmten Mathematikern Stanislaw Ulam und John von Neumann im Rahmen eines Nuklearwaffenprojekts im Los Alamos Scientific Laboratory in den USA entwickelt. Aufgrund der Geheimhaltungspflicht des Projekts war ein Codename f\u00fcr das neue Verfahren erforderlich. Die beiden w\u00e4hlten „Monte-Carlo-Simulation“, weil Ulams reicher Onkel gelegentlich im Monte-Carlo-Casino in Monaco dem Gl\u00fccksspiel fr\u00f6nte. <\/p>\n

MCS wird heutzutage in praktisch allen naturwissenschaftlichen Disziplinen wie der Biologie, der Chemie, der Mathematik und der Physik eingesetzt; sie ist also keine neue Methode und keine, die nur in der Finanz\u00f6konomie f\u00fcr Prognosen (eigentlich eher Simulationen) verwendet wird.<\/p>\n

In dem f\u00fcr unsere Zwecke relevanten Investment-Kontext werden bei einer MCS auf der Basis von Annahmen \u00fcber die erwartete Rendite und Volatilit\u00e4t (Unsicherheit der Rendite) eines Portfolios, die Restlebenserwartung des Anlegers sowie seine periodischen Portfolio-Zuf\u00fchrungen und -entnahmen von einem Computer einige hunderte oder tausende m\u00f6gliche unterschiedliche F\u00e4lle, so genannte „Iterationen“, erzeugt (eine Iteration oder ein „Fall“ ist eine einzelne, individuelle Prognose). Der Computer sortiert dann die resultierenden F\u00e4lle vom besten bis zum schlechtesten Fall und bereitet diesen „Blumenstrau\u00df“ aus Iterationen mit einfachen statistischen Kennzahlen in tabellarischer und grafischer Form f\u00fcr den Anwender auf. Der Anwender kann dann auf der Basis dieser Ergebnisse wichtige Entscheidungen treffen.<\/p>\n

Die Mindestanzahl der notwendigen Iterationen, die ben\u00f6tigt wird, um zu einem belastbaren Ergebnis zu gelangen, h\u00e4ngt davon ab, was man simulieren m\u00f6chte. F\u00fcr die im Vergleich zur L\u00f6sung bestimmter Probleme in der Biologie oder Physik einfachen Zwecke der Simulation eines Investmentportfolios werden 1.000 bis 10.000 Iterationen pro Simulation in der Regel als ausreichend betrachtet.<\/p>\n

Technisch formuliert hilft MCS dabei, das so genannte Renditereihenfolgerisiko („Sequence of Returns Risk“) besser zu verstehen und zu managen. Renditereihenfolgerisiko bedeutet, dass die spezifische Reihenfolge von schwankenden Monats- oder Jahresrenditen w\u00e4hrend des Betrachtungszeitraums dann eine hohe Auswirkung auf die Gesamtrendite und damit auch auf den Endwert des Portfolios hat, sofern dem Portfolio im Zeitablauf Mittel zugef\u00fchrt oder entnommen werden. Nur bei einem Portfolio, das im Betrachtungszeitraum keinerlei Zu- oder Abf\u00fchrungen erlebt, spielt das Sequence of Returns Risk f\u00fcr Rendite und Endverm\u00f6gen keine Rolle, aber die v\u00f6llige Abwesenheit von Zu- oder Abf\u00fchrungen kommt im typischen Kontext f\u00fcr MCS sowieso nie vor, denn es geht ja gerade um die Bestimmung einer nachhaltigen Entnahmerate.<\/p>\n

MCS kann methodisch auf verschiedene Arten durchgef\u00fchrt werden. Bei der am meisten verbreiteten Methode werden eine durchschnittliche Rendite (Jahresrendite oder Monatsrendite) und eine Volatilit\u00e4t dieser Renditen angenommen. [1]<\/span><\/strong> Mit diesen beiden Eingabewerten werden dann auf der Basis einer unterstellten statistischen Normalverteilung der zuk\u00fcnftigen Renditen vom Computer tausende von Iterationen (individuelle Einzelprognosen) berechnet. Dieses Standardverfahren wird als „klassische MCS“ bezeichnet.<\/p>\n

Eine andere Methode besteht darin, historische Portfoliorenditen zu verwenden (z. B. die Monatsrenditen aus den letzten 50 Jahren), um daraus einzelne Periodenrenditen wie aus einer Urne zuf\u00e4llig zu ziehen und aneinanderzureihen (nach dem Ziehen wird die Rendite wieder in die Urne zur\u00fcckgelegt). Das wird dann wiederum vom Computer tausende Male wiederholt. Dieses Verfahren nennt sich „Bootstrapping with Replacement“. Es ist weniger verbreitet, aber genauso relevant und aussagekr\u00e4ftig wie die klassische MCS. <\/p>\n

Bei den zwei vorhergehenden Methoden wird in der Simulation eine zuf\u00e4llige Abfolge der periodischen Portfoliorenditen angenommen. <\/p>\n

Bei einer dritten Methode werden hingegen komplette historische Renditereihenfolgen verwendet (z. B. die Monatsrenditen der Jahre 1970 bis zur Gegenwart in derselben Reihenfolge, wie sie historisch aufgetreten sind). Das Simulationselement bei diesem Verfahren besteht darin, den Startzeitpunkt innerhalb der historischen Datenreihe zuf\u00e4llig zu w\u00e4hlen, was dann vom Computer wieder einige tausende Male wiederholt wird. Bei den Iterationen deren Startzeitpunkt innerhalb der historischen Datenreihe so sp\u00e4t liegt, dass der Endpunkt hinter der letzten historischen Monatsrendite in der Datenreihe l\u00e4ge, f\u00e4ngt der Simulator wieder „vorne“ beim ersten Datenpunkt an, um eine ausreichend lange Prognose generieren zu k\u00f6nnen\u2013 vergleichbar einem Pater Noster-Aufzug, der immer „durchl\u00e4uft“. Diese Methode wird im Fachjargo „Historical Sequences Method“ genannt. Insbesondere wird bei ihr die in den historischen Aktienmarktdaten vorhandene schwache „Regression zum Mittelwert“ nicht eliminiert (Wikipedia-Eintrag zu Regression zum Mittelwert hier<\/u><\/a>). Analoges gilt f\u00fcr Anleihendaten, bei denen in den historischen Daten eine leichte „Anti-Regression zum Mittelwert“ enthalten ist.<\/p>\n

Wendet man in einem gegebenen Fall alle drei Methoden an, dann unterscheiden sich die Ergebnisse im Sinne z. B. der „Failure Rate“\/“Pleitequote“ (der Anteil aller Einzelprognosen, bei dem das Portfolio nicht bis zum Ende des Betrachtungszeitraums ausreicht) ungef\u00e4hr so:<\/p>\n